函数的有界性怎么理解（函数性质，才是学习函数的重点）

提到函数，想必大家都已经了解啦，只了解函数是什么，肯定是还不够的，那么我们要想真正的学习函数，还需要了解哪一些知识呢？那就是我们这节课要讲的函数性质，提到函数性质，大家可能觉得太多了，因为不同函数都有不同的性质，又该怎么总结呢？其实不管哪一类函数，都有着共同点。接下来我们就来一起看一看：

第一、函数的有界性问题：

设函数f(x)在数集A上有定义，如果存在常数M＞0，使得对任意x∈A，有：|f(x)|≤M

则称函数f(x)在数集A上有界，否则称为无界。

从定义大家可以看出，定义只是把有界划分出来了，但是并没有进一步说上下界问题。如果要进一步区分上界或者下界，可以得到以下情况：

设函数f(x)在数集A上有定义，如果存在常数M，使得对任意x∈A，有：f(x)≤M

则称函数f(x)在数集A上有上界，并称M为f(x)在A上的上界，如果存在常数m，使得对任意x∈A，有：f(x)≥m

则称函数f(x)在数集A上有下界，并称m为f(x)在A上的下界。

第二、函数的单调性问题：

设函数f(x)的定义域为D，区间A∈D，如果对于区间A上任意两点x₁及x₂，当x₁＜x₂时，恒有:f(x₁)＜f(x₂)，则称函数f(x)在区间A上是单调增加的。

设函数f(x)的定义域为D，区间A∈D，如果对于区间A上任意两点x₁及x₂，当x₁＜x₂时，恒有:f(x₁)＞f(x₂)，则称函数f(x)在区间A上是单调减少的。

第三、函数的奇偶性问题：

一般地，如果对于函数f(x)在定义域内任意的一个x，都有f(－x)＝f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数

注意：关于偶函数的关系有以下情况

偶函数 ⟷ f(－x)＝f(x) ⟷ 函数f(x)关于y轴对称

一般地，如果对于函数f(x)在定义域内任意的一个x，都有f(－x)＝－f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。

注意：关于奇函数有以下情况

奇函数 ⟷ f(－x)＝－f(x) ⟷ 函数f(x)关于原点对称

第四、函数的周期性问题：

设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个不为零的数l，使得对于∀x∈D，且（x±l）∈D，则称f(x)为周期函数，称l为函数f(x)的周期，且有以下式子f(x＋l)＝f(x)恒成立。

注意：我们一般情况说周期函数时，通常是指最小正周期。

第五、反函数问题：

对于反函数，指的是原函数与其反函数的定义域和值域恰好相反，即原函数的定义域等于反函数的值域，原函数的值域等于反函数的定义域。假设原函数y＝f(x)，则反函数为x＝f⁽⁻¹⁾(y)，其中(－1)指的是函数幂。

其中原函数与反函数中，最具代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

注意：原函数与原函数的反函数是关于直线y＝x对称的。